تقویم و زمان
تقویم ایران
بانکی و مالی
نقشه و وضعیت هوا
ورزش و سلامت
ریاضی و تبدیل واحد
دستگاه سه معادله سه مجهول چیست؟
دستگاه سه معادله سه مجهول مجموعهای از سه معادله خطی است که سه متغیر مشترک x، y و z دارند و باید همزمان برقرار باشند. شکل عمومی آن چنین است:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
از دیدگاه هندسی، هر معادله یک «صفحه» در فضای سهبعدی است و جواب دستگاه نقطهای است که هر سه صفحه در آن مشترکاً برخورد میکنند. این موضوع تعمیمی مستقیم از مفهوم برخورد دو خط در دستگاه دو معادله دو مجهول است.
روشهای حل دستگاه ۳×۳
سه روش اصلی برای حل این دستگاهها وجود دارد که حسابچی از ترکیب آنها برای حل پایدار استفاده میکند:
- روش حذفی گاوس: ماتریس ضرایب را با عملیات سطری به ماتریس بالا-مثلثی تبدیل میکنیم و سپس از پایین به بالا متغیرها را بهدست میآوریم.
- روش گاوس-جردن: ادامه روش گاوس است که ماتریس را به ماتریس همانی میرساند و جواب مستقیم در ستون سمت راست ظاهر میشود.
- روش کرامر: با محاسبه دترمینان اصلی و سه دترمینان فرعی، جوابها مستقیماً از تقسیم آنها بهدست میآیند.
فرمول روش کرامر برای دستگاه ۳×۳
اگر دترمینان ماتریس ضرایب اصلی را D و دترمینانهای فرعی را Dₓ، D_y و D_z بنامیم:
x = Dₓ / D، y = D_y / D، z = D_z / D
دترمینانهای فرعی با جایگزین کردن ستون مربوط به متغیر مورد نظر با ستون سمت راست (مقادیر d) محاسبه میشوند. اگر D = 0 شود، دستگاه یا بینهایت جواب دارد یا اصلاً جواب ندارد و حسابچی هر دو حالت را تشخیص میدهد.
مثال حل گام به گام
دستگاه زیر را در نظر بگیرید:
x + y + z = 6
2y + 5z = −4
2x + 5y − z = 27
با گاوس-جردن یا کرامر به جواب میرسیم:
x = 5، y = 3، z = −2
برای راستیآزمایی، این مقادیر را در هر سه معادله جایگزین کنید؛ همگی تساوی بهدرستی برقرار میشوند. ابزار حسابچی همین محاسبات را در پشت صحنه انجام میدهد و جواب را در کمتر از یک میلیثانیه نمایش میدهد.
کاربردهای دستگاه ۳×۳
- تحلیل مدار الکتریکی: در مدارهای با سه حلقه، قوانین کیرشهف منجر به دستگاه سهمجهولی میشود.
- اقتصاد و مدلسازی: تحلیل بازارهایی با سه محصول مرتبط یا سه عامل تولید.
- هندسه فضایی: یافتن نقطه برخورد سه صفحه یا تعیین مختصات مرکز کره از روی سه نقطه.
- گرافیک سهبعدی: تبدیل دستگاههای مختصات و عملیات روی نقاط در فضای 3D.
برای دستگاههای بزرگتر، حتماً به حل دستگاه چهار معادله چهار مجهول سری بزنید.